#6 곱하기 생략, 몬티홀 딜레마

중학교 수학 이야기

곱셈과 문자 사이에 X(곱하기) 는 왜 생략되는가?

주입식 교육... 의 페혜

2*3 = 2+2+2

2*5 = 2+2+2+2+2

3*x=6 는 교환 법칙이 성립하니까

x*3=6

사과*2= 엄마가 "사과 두개 사와라", 생활 중에 은연 중에 곱하기를 생략하고 쓰고 있다.

"라면 + 라면 + 라면 + 라면 + 라면 사와라" = "라면 (곱하기 5)  사와라". 

= 라면 5(개) 사와라

뭔가 그럴듯 하다.

동류항의 계산에서도

2x + 3x + 5y+ 7y = 5x + 12y

사과2개 + 사과3개 + 배5개 + 배7개 사와라 = 사과 5개와 배 12개 사와라

1x 에서도 1은 생략한다.

우리는 종종 한개만을 얘기할 때 1을 생략한다.

짜장면 2개, 짬뽕2개, 탕수육 주세요, 레종 주세요, 

캠핑갈때 "수건 3장, 양발 3장 텐트" 메모한다. => 텐트1 은 생략.. 은연 중에 생활에서도 생략중이다.

재미있는 수학 이야기

몬티홀 딜레마. 몬티홀은 사회자 이름이다.

미국 TV쇼, 최종 우승자에게 최고급 상품을 얻을 기회를 준다.

총 3개의 문의 있고, 하나의 문 뒤에만 포르쉐 상품이 있고, 나머지 문 2개는 염소가 있다. 염소는 꽝.

우승자가 문을 선택하면, 선택한 문을 열기전에 그 문을 제외한 하나의 문을 열어준다. 사회자는 우승자에게 선택한 문을 바꿀수 있는 기회를 준다.

바꾸는게 좋냐? 바꾸지 않는게 좋냐? 대부분의 우승자는 바꾸지 않는다. 감성적으로 자기의 첫 번째 선택을 바꾸면 후회와 자책을 하게 될 것이고, 시청자들도 다들 그렇게 생각했다고 한다. 어쨋든 이 프로그램은 인기가 매우 좋았던 모양이다.

우승자가 문을 선택하고 사회자가 바꿀 기회를 준 것에 대하여 , 이 바꿀지에 대한 여부의 좋고 나쁨이 매우 핫한 이슈가 되었다.

우리나라의 '무엇이든 물어보세요?' TV프로그램과 비슷한 잡지가 "바꾸었을 때의 좋고 나쁨"을 다루게 되었다.  

그때 당시 이 문제를 다룬 컬럼을 집필한 사람은 전세계에 IQ가 가장 높은 사람 메릴린 보스 사반트(IQ 228) 이다.

(IQ는 표준점수.. 만점이 없다. 평균을 100으로 본다.)

메릴린은 "바꾸는게 무조건 유리하다." 라고 이야기 했고, 

미국은 난리가 났다.

상식적으로 염소가 있는 문 열렸으니 나머지 문 2개에 차하나, 염소 니까 어차피 확율은 50% 라 생각함. 메를린 바보!. 메를린에게 "너는 틀렸다"는 엽서가 수만통 왔다고 한다. 저명한 수학자들까지도 메릴린의 생각이 문제가 있다고 지적했다.

하지만, 메릴린은 아래와 같이 문제를 바꾸어 보았다.

문이 100개 있다고 생각해보자.

99마리의 염소 1개 포르쉐 라고 생각하면 느낌이 좀 다르다. 그래도 사람들은 여전히 메릴린의 생각이 잘못되었다고 생각했다.

그래도 문2개가 남았을 때는 어차피 확율이 50% 라는 생각이 맞다고 느껴진다.

메릴린은 다시

문 10 개 있다고 가정하고, 모든 경우의 수를 전부 나열했더니.. 정말 바꾸는게 유리하다는게 증명되어 버렸다.

하지만 이 TV쇼에는 확율이 변경되는 큰 이슈가 있다.

몬티홀은 문 뒤에 머가 있는지 안다. 

몬티홀은 "우승자가 선택한 문이 아닌 다른 2개의 문에 염소가 있다라는 것을 알고 있고 무조건 염소가 있는 문을 연다" 라는게 포인트 였다.

만약 아무것도 모르는 사람(몬티홀이 아닌)이 문을 활짝 열었을 때 염소가 나왔다면, 이건 50% 확율이 맞다.

하지만 몬티홀 문제라면,

내가 문을 하나 골랐다면, 몬티홀은 무조건 염소가 있는 문을 열 것이다. 이래서 확율이 미묘하게 틀어진다.

풀이

• 선택한 문을 바꾼지 않는다고 가정하면, 첨에 무조건 차를 골라아 한다. 1/3 확율이 된다.
  
  

• 선택한 문을 바꾼다고 가정하면.
  첫 선택에 염소를 골랐다가 가정했을 경우(물론 우승자는 모르지만). 몬티홀이 염소를 열어주면 그때 바꾸면 무조건 차이다.
  결국 첫 선택에 염소를 고르고 바꾸면 무조건 차인거니, 첫 선택에 염소를 고를 확율은 2/3 이니까. 결국 바꾸는게 무조건 이득이다.